과학과 수학의 새로운 만남 : 포스트 프린키피아

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과학과 수학의 새로운 만남 : 포스트 프린키피아
제안자
자문교원 안흥주, 이상철
연도 2017
타입 A형 과제
코스 프란시스 크릭
매칭여부
참여학생수
소개동영상

제안 배경

과제 목표

과제 내용

움직임을 이해하는 과학과 수학

Pre-Newton에서의 수학과 과학의 만남

덴마크에서 천문관측학자 티코 브라헤가 관측해 놓은 방대한 양의 천문자료를 바탕으로 독일에서 온 요하네스 케플러가 행성운동법칙을 정리하였다. 천체 운동의 물리학적 원리에 대한 이해보다는 수학적 관점에서 기하학적으로 수치값을 계산한 것이다. 물리학적인 이해는 폴란드의 니콜라우스 코페르니쿠스에 의해 제기된 지동설을 바탕으로 이탈리아의 갈릴레오 갈릴레이에 의해 깊이를 더하게 되고 공론화되었다.

Newton에서의 수학과 과학의 만남

갈릴레이가 죽은 해에 태어난 영국의 아이작 뉴턴은 그의 1687년 저서 “자연철학의 수학적 원리-프린키피아” (Mathematical principles of natural philosophy-Principia)에서 일반적인 힘(힘(Force)=질량(Mass)*가속도(Acceleration), 뉴턴의 운동법칙)과 만유인력법칙을 가정하였다. 힘을 원인으로 하는 운동을 기술하기 위해 시간에 따른 움직임의 변화를 속도(velocity)로 개념화하였고, 독일의 빌헬름 라이프니찌와 함께 미적분학을 도입하고 발전시켰다. 이것으로부터 뉴턴은 태양계 운동을 법칙으로부터 연역할 수 있게 되었으며, 이후 모든 과학(물리학)은 수학을 이용하여 물리적 현상을 예측하고 왜 그러한지 설명할 수 있었다.

Post-Newton에서의 수학과 과학의 만남

수학과 물리학에 뛰어난 프랑스의 앙리 푸앵카레(Henri Poincare)와 함께 네덜란드의 헨드릭 로런츠(Hendrik Lorentz)는 이동좌표계에서의 상대운동을 로런츠 변환(Lorentz transformation)식으로 유도하여 수식으로 증명된 시간지연(time dilation)과 길이수축(length contraction)을 제시하였다. 1905년에 출판한 “운동하는 물체의 전자역학에 대하여-특수상대성이론” (On the electrodynamics on moving bodies-Special relativity theory) 논문을 통해 알베르트 아인슈타인은 로런츠 변환의 의미를 재해석 하여, 전자기현상에서 유한한 빛의 속도(c=2.99792458×10^8 m/s)를 가정하고 공간과 시간의 상호 관계성을 특수상대성 이론(Special relativity theory)으로 시공간 사차원(=3차원 공간+1차원 시간)의 개념을 도입하는 물리학적인 설명을 제시하였다. 이것은 다시 시간과 공간을 결합한 러시아의 헤르만 민코프스키의 시공간(space-time) 개념을 이용하여 기하학적으로 설명되어 완성되기에 이른다.

Why : 왜 프린키피아를 다시 생각해보아야 하나?

뉴튼에 의해 수학적원리가 밝혀진 운동의 비밀은 바로 힘을 자연철학적으로 정의함으로 가능해지게 되었다. 뉴튼이 가정한 힘은 운동하는 물체를 움직이게 하는 원인이며 직접적으로 닿게 될 때 비로소 전달받게 된다. 이렇게 개념적인 힘은 일반적인 자연에 관측되는 물리량과는 달리 보여지거나 만져지는 것이 아니었다. 다만, 운동하는 물체를 통해 간접적으로 측정되고 계산되어 지는 양으로 단위를 통해서만 물리학적으로 표현될 수 있다. (뉴튼은 만유인력을 발견하고 난 후에도 지구와 닿지 않는 달이 어떻게 힘을 전달받는지를 고민하였다고 한다. "That one body may act upon another at a distance through a vacuum... and force may be conveyed from one to another, is to me so great an absurdity, that I believe no man, who has... a competent faculty in thinking, can ever fall into it." - Sir Issac Newton)


힘에 대한 수치계에서의 표현

힘=질량×가속도


위에서 정의한 방정식에서 주목할 점은 힘은 물리적 기본량으로부터 유도된 것임을 알 수 있다. 자연에는 7개의 기본 물리량 (질량, 길이, 시간, 온도, 전하량. 조도, 몰수)이 정의되어 있다. 여기서, 힘은 질량, 거리 그리고 시간의 관계로 주어진다. 이 세 가지의 조합 방식은 다양하게 주어질 것이나 특히 (질량*거리)/(시간*시간)으로 표현되는 것은 수학적으로 유용할지 몰라도 물리적으로 어떤 의미가 있는지에 대한 설명은 되지 못한다. 반면에 뉴튼은 힘을 정의로 받아들이고 다른 부분에 집중을 하여 훌륭한 성과를 거두었다. 어떤 물리적인 원리를 밝히는 것보다 일단 정의되고 관측되는 물리현상을 수학적으로 표현하고 얼마나 잘 계산할 수 있을까를 먼저 고민한 것으로 보인다(이것을 가능하게 한 것이 미적분학이다).

우리는 이제 힘의 방정식을 조금 다르게 표현해 보고자 한다.


힘에 대한 단위계에서의 표현

[힘]=[질량/시간]×[거리/시간]


[.] 기호는 물리량의 단위를 표현한다. 힘의 단위는 시간에 대한 질량변화량의 단위에 시간에 대한 거리변화량의 단위를 서로 곱한 단위로 풀어 적을 수 있다. 여기서 주목할 점은 방정식 좌우변의 단위정합성(dimensional consistency)을 검증하는 것에만 머물지 않고 우변을 질량변화량 그리고 거리변화량의 곱으로 보자는 것이다. 거리변화량은 우리가 잘 알고 있는 속력(혹은 속도)이 된다. 그러면 질량변화량은 어떤 물리적의미를 가질까? 짧은 시간동안에도 질량변화량은 측정 가능한 것일까? 아니면 빠른 속도로 움직이는 경우에 또 다른 의미를 가지는 것일까? 아인슈타인은 상대성이론을 제시하면서, 물리량은 고정불변이 아니라 관측자의 기준에 따라 다르게 측정될 수 있는 것으로 보게 되었다. 질량은 불변이 아니라 관측자의 운동속도에 따라 변화한다. 속도가 증가하면 질량도 증가하게 된다. (시간은 느려지고, 길이는 수축된다.)

What : 수치만큼이나 단위도 중요하지 않을까?

과학적 물리량의 관계를 밝히고 있는 많은 종류의 물리방정식은 중요한 두 가지 정보를 포함하고 있다. 하나는 정량적인 수치이고 다른 하나는 정성적인 단위이다. 수학식은 단위를 포함하고 있지 않기에 추상적이라고 하며, 물리식은 단위를 포함하기에 구체적이라고 한다. 그 동안 우리는 익숙하게 수치에 좀 더 집중하는 경향을 가지고 있었다. 그래서 얼마나 잘 계산을 하느냐가 중요하였다. 이제는 방정식이 포함하는 또 다른 정보인 단위에 집중하면 무엇을 더 알 수 있을지를 탐구하고자 한다.

단위계(unit system)를 이해하고 단위의 정합성(차원 일치성(dimensional consistency))을 확인하고 단위 변환하는 과정을 통해 특정 패러다임에서 물리방정식이 어떻게 만들어 지는가를 경험할 수 있다. 물리방정식은 실험을 통해 만들어지는 것일까 (실험적 방정식)? 유도과정을 통한 증명에 의한 것일까 (이론적 방정식)?

그리고, 단위 없이 물리현상을 표현하려는 시도(dimensionless number)와 물리방정식을 단위 없이 기술하려는 시도(non-dimensionalization)를 통해 단위 없이 표현되는 물리학적 시도의 중요성을 알게 된다. 여기서 중요하게 대두되는 단위없이 표현된 물리상수와 물리방정식에 어떤 다양한 수학적 접근이 가능성한지를 탐색하고자 한다. 예를 들어, 단위없는 표현인 비율(ratio)을 일반화하여 사영공간(projective space)와 사영기하학(projective geometry)을 활용하는 방법을 이해하고자 한다.

  • Fact1) 수치계산에 의해 동일한 수치 값이라도, 단위가 다르면 서로 다른 물리량이다.

{2, +, x}를 가지고 다양한 방법으로 계산을 하면 2+2+2+2(길이) = 2x2+2x2(면적) = 2x2x2(부피)로 같은 수치를 가지지만, 여기에 길이의 단위를 포함해서 {2m, +, x}를 가지고 계산을 수행하면 8m(길이)8m^2(면적)8m^3(부피)로 단위가 서로 다른 물리량으로 수치계산의 결과와 일치하지 않는다. 이와 같이 다른 세 가지의 수치계산에서 얻은 결과를 기하학적이면서 물리학적인 대상으로 상호 비교해 보자.

Line : 8m = (2m)+(2m)+(2m)+(2m)

Square : 8m^2 = (2m*2m) + (2m*2m) = (2m^2)+(2m^2)+(2m^2)+(2m^2)

Volume : 8m^3 = (2m)*(2m)*(2m) = (2m)*(4m^2) = (2m^3)+(2m^3)+(2m^3)+(2m^3)

  • Question1) 단위 재조합을 통해 물리량을 새롭게 정의할 수 있나 ?

F=m[M]*a[L/S^2] => force = mass x acceleration

즉, 힘은 질량과 가속도의 곱으로 정의된다.

F=m_v[M/S]*v[L/S] => force = mass variation x velocity

즉, 힘은 속도와 질량변화량을 곱해도 같은 의미를 가진다. 여기서, 질량변화량은 물리적으로 어떤 의미를 가지게 될까?

  • 접근방법 : 수치계산을 위한 대수학과 같은 단위연산을 위한 수학이 정의되어야 하며, 이를 바탕으로 단위연산의 결과로 얻은 새롭게 정의된 물리량의 의미를 밝혀야 되지 않을까?
  • Fact2)숫자는 함수 값을 가지는데, 단위는 함수 값을 가지지 못한다.

e^pi = -1

수치는 좀 더 복잡한 함수에 적용되어 값을 가지게 된다.

e^[S] not equals 1+[S]+[S^2]/2 + ...

단위는 함수화를 할 수 없다. 이와 같이 좌변과 우변의 단위가 서로 다르게 되어 물리적인 의미를 상실한다.

  • Question2) 단위를 함수로 하는 것은 어떤 물리적 의미를 가질까 ?

Y축이 거리[L]를 의미하고, x축을 시간[S]로 하면 기울기[L/S]는 속력이다.

그럼, X축을 log[S]로 하면 기울기[L/log[S]]는 어떤 물리량일까 ?

How : 어떻게 과학과 수학의 새로운 만남을 이루어갈까?

  • 사전지식습득 : 6주간
*관련된 과학자와 수학자들과 그 들이 한 일들 알아보기 (서울대 홍성욱교수의 과학사강연 참고)
*케플러와 뉴튼 방정식 (참여 학생들 발표와 지도교수 토론)
*뉴튼과 라이프니찌 미적분학 (참여 학생들 발표와 지도교수 토론)
  • 논문읽기 : 10주간
*단위에 관하여 text읽고, 단위계 이해하기
*단위를 없애고 수학식으로 변환하는 과정 이해하기
*비율이해와 사영기하학 이해하기
*로런츠 변환식 유도하기
*아인슈타인 논문읽고, 특수상대성 이론 이해하기
*민코프스키 논문읽고, 시공간 이해하기
  • 토론하기 : 10주간
*사전 토론 : MOOK (HarvardX EMC2x The Einstein Revolution) 강의 듣고 토론하기
*과학적 토론 : 단위없는 물리방정식과 하이브리드
*수학적 토론 : 사영공간과 사영기하학
  • 글쓰기 : 10주간
*교육적인 설명논문
*새로운 관점에서 정리하는 리뷰논문
*작으나마 연구결과를 담은 연구논문 (전산 시뮬레이션 포함)

“If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants” Sir Isaac Newton, 1676

이제 두 거인(뉴튼-아인슈타인, 수학-과학)의 어깨위에 서서 거인의 걸음으로 여행하는 경험을 시작하고자합니다.

도전을 두려워하지 않고 열정을 가진 분들을 만나 여행의 동반자로 같이하고자 합니다.

혹시 모를, 여행 중에 현기증과 멀미를 느끼는 분들을 위한 응급처치도 준비되어 있습니다.


참고자료

희망학생