그래프의 조합론적 성질와 방정식의 대수적 성질의 상호관계 연구 (A study on correspondences between algebraic equations and combinatorics of graphs)

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그래프의 조합론적 성질와 방정식의 대수적 성질의 상호관계 연구 (A study on correspondences between algebraic equations and combinatorics of graphs)
제안자
자문교원 한강진
연도 2017
타입 A형 과제
코스 프란시스 크릭
매칭여부
참여학생수
소개동영상

제안 배경

과제 목표

자연과학 및 공학에서 광범위하게 등장하는 연립다항방정식(system of polynomial equations)의 해집합을 대수적, 기하학적 이해하는 관점을 익히고, 그 중에 특별히 조합적인 대상인 그래프(graph)와 자연스레 대응되는 단항식 아이디얼(monomial ideal)을 고려하여, 위 아이디얼들의 대수적인 구조(algebraic structure)과 대응되는 그래프의 조합적인 성질(combinatorial property)가 어떻게 상호 연관성을 가지는 지에 대해 탐구한다.

과제 내용

  • 일변수 다항식은 4차까지 근의 공식이 있고, 5차이상에도 수치적인 풀이법이 있다. 또한 연립하는 다항식들의 차수가 모두 1이면, 가우스 소거법으로 해결할 수 있음을 우리는 알고 있다. 이제, 일반적으로 n 변수이고, 각 방정식의 차수가 2 이상일 때, 연립다항방정식의 해집합을 이해하는 기하학적 관점과 방법을 익한다.
  • 위 연립식을 수학적으로 잘 표현할 수 있는 ‘아이디얼’이란 개념 및 관련된 대수학적 기본 지식을 익힌다.
  • 한편, 상호대응의 또 다른 한쪽인 그래프 이론과 조합론의 기본개념을 살펴본다.
  • 간단한 그래프에 대해 주어진 상호연관성의 선행결과를 이해하고, 관련된 새로운 결과들을 예측, 규명한다.
  • graph에 대한 결과를 다양한 조합적 대상인 hyper-graph, matroid, polytope에 대한 경우로 일반화 또는 확장해 보고, 관련된 여러 분야에 대한 응용을 모색한다.

참고자료

희망학생