다변수 미적분학

SE102 다변수 미적분학

과목번호	SE102
학점/이론시수/실습시수	3/3/1
교과구분	공통필수
이학/공학
대분류	기초과학
소분류	수학
최초개설연도	2014
교수자	안흥주
개설학년	1
개설학기	2
교재	E-book [[file:|100px]]
선수과목	응미미

개요

일변수함수의 극한, 미분, 적분을 다변수함수로 확장하여 다변수함수의 미분과 적분 및 그 응용을 배운다. 또한 행렬의 개념을 이용한 연립상미분방정식의 해법, 다중적분의 정의, 벡터장의 적분의 물리적인 이해 및 스토크스 정리, 발산정리 등의 이론을 다루고 적분 정리를 응용하여 맥스웰 방정식과 유체역학의 연속방정식을 유도하는 과정 등을 포함하고 있다

주차별계획

1. 벡터, 행렬 및 벡터장(vector field)의 개념을 이해하고 다양한 연산을 시행할 수 있고, 관련된 대상과 연산의 기하적 물리적 의미를 설명할 수 있다.
   • $n$차원($n$은 주로 2,3) 공간에서 직교좌표계(Cartesian coordinates or rectangular coordinates)와 $n$차원 좌표공간(Cartesian product space) $R^n$ 및 $n$차원 벡터공간
   • 3차원 공간의 cylindrical coordinates, spherical coordinates 가 무엇인지 알고 서로 다른 좌표계 사의의 관계를 안다.
   • $m\times n$ 행렬의 정의와 행렬의 기본 연산 및 기본행 연산(elementary row operation) 과 연립방정식의 해의 존재성과의 관계, 3*3 행렬의 행렬식의 성질을 이해하고 계산할 수 있다
   • 벡터의 내적과 외적의 정의 및 기하적 물리적 의미 이해 및 계산
   • 공간 곡선에 대한 이해 및 뉴턴의 운동법칙과 만유인력 법칙을 가정하에 Kepler 법칙의 증명(optional)
2. 다변수 함수(주로 2, 3변수 함수로 한정함)의 도입과 다변수 함수의 극한 및 미분에 대한 이해 및 응용
   • 이변수(two variables) 함수의 등위선(level curve)과 그래프를 그릴 수 있다.
   • 이변수 함수의 극한을 이해하고 계산할 수 있으며 이변수 함수의 연속성을 테스트 할 수 있다.
   • partial derivatives 에 대한 정의와 의미를 알고 주어진 함수의 partial derivatives 를 능숙하게 계산할 수 있다. Higher order partial derivatives 를 계산할 수 있다.
   • 이변수 함수의 미분의 정의와 그래프의 접평면 개념을 연관지어 생각할 수 있으며 미분가능한 함수의 특성을 알고 판정할 수 있다. 다변수 함수(이변수 함수에서 시작하되 이 경우는 변수의 개수를 제한하지 않음)의 chain rule 을 이해하고, 다양하고 구체적인 합성 함수에 대해 chain rule을 적용하여 합성 함수의 미분을 계산할 수 있다.
   • 미분 가능한 함수의 Gradient vector 의 정의와 방향도함수(directional derivative)의 관계와 의미를 이해할 수 있고, 물리적 문제에 적용할 수 있다.
   • Del operator ∇ 에서 시작하여, divergence ∇∙ , curl operator ∇× 의 정의를 알고 주어진 함수나 벡터장에 대해 적용하여 계산할 수 있다.
   • 일변수 함수에서 확장하여 이변수 함수의 테일러 정리, local extrema 등을 이해하고 다변수 함수의 최적화 문제를 해결할 수 있다(Hesse 의 판정법, Lagrange multiplier 를 적용하는 방법을 이해함)
3. Double, triple integral 을 정의하고 이것의 물리적 의미(area, volume, 적절한 density function 에 대해 mass, 전하량 등의 스칼라양 등) 안다
   • Double, triple integral 의 수학적 정의를 이해하고 Fubini 정리를 통해 iterated integral 로 변환하는 방법을 이해하며(integration 의 순서 바뀜에 대한 이해) 다양한 영역에서 iterated integral 을 계산할 수 있다.
   • 다변수 함수의 야코비 행렬의 정의와 의미를 이해하고 change of variables(치환적분)에 적용하여 다중 적분을 계산할 수 있다.
4. 함수와 벡터장의 Line integral, surface integral 을 정의하고 함수와 벡터장이 특정한 물리적 의미를 지니고 있을 때, 동반하는 Line integral, surface integral 이 가지는 물리량의 의미를 알고 그 양을 계산할 수 있다
   • 주어진 path 에 대해 함수와 벡터장의 line integral 의 물리적 의미를 이해하고 계산할 수 있다. 함수와 벡터장의 line integral 이 Path 의 재매개화에 따라 어떻게 달라지는지(또는 달라지지 않는지) 이해한다.
   • Green 정리의 다양한 형태와 표현을 이해하고 증명할 수 있으며, 다양하고 구체적인 문제에 적용할 수 있다.
   • Path independent line integral, conservative field, closed field, scalar potential 개념을 알고 scalar potential 이 존재할 필요충분 조건을 이해하고 구할 수 있다 (관련된 개념 Connected region, simply connected region, closed path, simple closed path 을 이해).
   • 이미 알고 있는 Parametric path(curve) 에서 parametric surface 의 개념으로 일반화를 이해하고 곡면의 향(orientation)에 대해 알고 있으며 smooth (regular) surface, piecewise smooth surface, normal vector 의 정의와 구체적 예를 알고 있다..
   • 곡면(surface) 위에서 함수 f 와 벡터장 F 의 surface integral 의 정의를 알고 계산할 수 있으며, circulation of F along a path, flux of F across a surface 개념을 이해하고 있다.
   • Line integral 에서와 같이 surface 의 재매개와 따른 surface integral 의 변화를 이해하고, surface 의 orientation 에 대해 알고 있다.
5. 다양한 적분관련 정리(Green 정리, Stokes 정리, 가우스 정리)들을 통합적 관점에서 이해하고 벡터장 F 의 divergence, curl 의 개념을 flux density of F, circulation of density of F 로 이해할 수 있다.
   • Stokes 정리와 가우스 정리(divergence theorem)의 내용을 이해하고 대략적 증명을 알고있다.
   • 벡터장 F 의 divergence, curl 의 물리적 의미를 이해하기 위해 노력한다.
   • 댜양한 적분 정리의 응용으로 Continuity equation, Maxwell equation 등을 이해한다(optional).

평가방법

1. 중간고사 40
2. 기말고사 40
3. 퀴즈 10, 숙제 5, 기타(출석 및 태도) 5

기타정보

[부교재]

1. Colley, Vector Calculus 4th ed., Pearson (2012)
2. Thomas, Calculus
3. Stewart, Calculus