미분기하학

SE420 미분기하학

과목번호	SE420
학점/이론시수/실습시수	3/3/0
교과구분	교선필수
이학/공학	이
대분류	기초과학
소분류	수학
최초개설연도
교수자
개설학년	4
개설학기	1
교재	[[file:|100px]]
선수과목

개요

미분기하학은 순수 수학의 한 분야로서 역학, 상대성 이론, 유체, 건축 및 경제 이론에 이르기까지 광대한 분야에 응용된다. 수학적 엄밀성과 증명보다 개념의 직관적 이해가 중요하며, 이를 위해 곡선과 곡면의 성질을 먼저 공부한 뒤, 다양체(manifold)와 측지선(geodesic) 등의 미분기하학적 개념을 학습한다. 더 나아가 리 군(Lie group) 및 텐서(tensor)의 활용에 이르기까지 미분기하학의 다양한 분야를 소개한다. 이를 통해 순수 수학 및 이론 물리를 전공하려는 학생 뿐만 아니라, 신물질, 로봇공학 및 정보통신 대학원에 진학하여 미분기하학을 연구에 활용할 수 있는 역량을 키울 수 있다. 주요 학습 내용은 다음과 같다.

주차별계획

• Curves: Regular curves, Frenet formula, Isoperimetric inequality, Cauchy-Crofton Formula
• Surfaces: Regular surfaces, Differentiable functions, Regular values, Tangent planes, ::Differentials, Area: the first fundamental form, Orientation
• Gauss map, (principal, mean, Gaussian) Curvatures, Vector fields, Minimal surfaces
• Christofffel symbols, Mainardi-Codazzi equations, Parallel transport, Covariant derivatives, ::Geodesics, Gauss-Bonnet theorem, Exponential map, Normal neighborhoods
• Differential manifolds: Riemannian metric, Affine connections, Tensors on manifolds, Curvatures, ::Jacobi field, Calculus on variations
• Differential forms, Stoke’s theorem

아래의 주제는 간단히 소개될 예정이며, 향후 수학특론(SE424): 행렬군론에서 더 자세히 다룰 예정이다.

• Space of constant curvetures, Hyperbolic spaces, Lie groups and Lie algebras