Dirac Delta Function

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Dirac Delta Function
관련코스 전기역학, 양자역학
소분류 수학, 물리
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Background

전자기학에서 점전하의 경우와 연속된 전하분포의 경우를 서로 다른 식으로 다루게 되는데, 점전하를 연속전하분포의 하나의 특수한 경우로 볼 수 있다면 좋지 않을까? 그렇게 되면 전하와 관련된 모든 방정식은 일반적인 전하분포 [math]\rho(\vec{r})[/math]를 이용해 기술할 수 있고, 점전하인 경우는 [math]\rho(\vec{r})=q\delta(\vec{r})[/math]인 경우라고 생각하면 된다.

Definition

1-dimensional Dirac delta function

Dirac delta function은 실수축 상에서의 함수로서 [math]x=0[/math]을 제외한 모든 점에서 함수값이 0인 함수이다. [math]x=0[/math]에서의 값은 무한대 값을 가진다.

[math]\delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}[/math]

그리고 아래와 같이 이 함수의 밑면적은 1로 규격화시킨다.

[math]\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1.[/math]

2-dimensional Dirac delta function

마찬가지로 2차원 공간에서도 Dirac delta function은 아래와 같이 정의될 수 있다.

[math]\delta(x,y) = \begin{cases} +\infty, & (x,y) = (0,0) \\ 0, & otherwise \end{cases}[/math]

이 때에도 이 함수의 전공간에서의 적분값은 1로 규격화시킨다.

[math]\iint_A \delta(x,y) dxdy = 1.[/math]

3-dimensional Dirac delta function

마찬가지로 3차원 공간에서도 Dirac delta function은 아래와 같이 정의되고, 전기역학에서 매우 자주 등장할 것이다.

[math]\delta(\textbf{r})=\delta(x,y,z) = \begin{cases} +\infty, & (x,y,z) = (0,0,0) \\ 0, & otherwise \end{cases}[/math]

이 때에도 이 함수의 전공간에서의 적분값은 1로 규격화시킨다.

[math]\iiint_V \delta(x,y,z) dxdydz = \int_{V}\delta(\textbf{r}')d\tau'=1.[/math]

Dimension

Dirac delta function의 차원은 위의 정의로부터 유추할 수 있다. 즉, 1차원에서는 1/[거리], 3차원에서는 1/[거리^3]의 차원을 가진다.

Property

Value-picking
[math]\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\, dx = f(0)[/math] in 1-D
[math]\int_V f(\textbf{r})\delta(\textbf{r})\, d\tau = f(0)[/math] in 3-D
Translation
[math]\int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x-x_0)\,dx = f(x_0)[/math] in 1-D
[math]\int_V f(\textbf{r}) \delta(\textbf{r}-\textbf{r}_0)\,d\tau = f(\textbf{r}_0)[/math] in 3-D

Relation to Gauss' Law

전하량 q인 점전하가 원점에 놓여있다면, 그 전하밀도는 아래와 같이 표현할 수 있다.

[math]\rho(\mathbf{r})=q\delta(\mathbf{r})[/math]

이를 Gauss법칙 [math]\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}[/math]에 대입해 보면,

[math]\nabla\cdot\left( \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{r}}{r^3} \right) = \frac{q\delta(\mathbf{r})}{\epsilon_0}[/math]

이를 다시 정리하면

[math]\nabla\cdot\left( \frac{\mathbf{r}}{r^3} \right) = 4\pi\delta(\mathbf{r})[/math]

이 된다.

위 식을 Divergence theorem을 이용해서 다시 한번 증명해보는 것이 많은 도움이 된다. 우선, 위 식의 좌변은 [math]\mathbf{r} \neq 0[/math]인 경우에 0 의 값을 가짐은 쉽게 보일 수 있다.문제는 [math]\mathbf{r}=0[/math]인 경우인데, 이를 해결하기 위해서 Divergence theorem을 이용해보자. 원점 주위에 반지름 R인 작은 구를 생각한다면,

[math]\int_V \nabla\cdot\frac{\mathbf{r}}{r^3}d\tau = \oint_S \frac{\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}}{r^3}da = \frac{1}{R^2}\oint_S da = 4\pi[/math]

위의 적분에서 구의 반지름 R이 아무리 작아져도 우변은 똑같이 [math]4\pi[/math]이므로, 좌변의 적분속에 있는 양을 [math]4\pi\delta(\mathbf{r})[/math]라고 쓸 수 있다. 따라서 위의 식이 다시 한번 증명된 셈이다.

이와 같이, Dirac delta function을 사용하면 특이점을 포함하는 영역에서도 divergence theorem을 쓸 수 있게 된다.